evolución del calculo diferencial 

El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste en el estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.

El cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

El cálculo diferencial se consolidó como disciplina matemática principalmente en los siglos XVI y XVII cuando Kepler (1571-1630), Galileo (1564-1642) y Newton (1642-1727) entre otros, intentaron describir la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento, aunque ya en la antigüedad griega Arquímedes había planteado la versión geométrica de ese problema de mecánica cual es el problema de la recta tangente a una curva en un punto. Mediante el uso de razones de cambio fue posible calcular velocidades y aceleraciones y definir la recta tangente a una curva pero también resolver problemas de tipo práctico como por ejemplo, determinar cuando dos planetas estarían mas cercanos o mas lejanos entre sí. Con el paso del tiempo las posibilidades de aplicación del cálculo se han ampliado.

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), con conceptos de tipo geométrico como el problema de la tangente a una curva de Apolonio de Perge, pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta el siglo XVII por la obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.

Ellos sintetizaron dos conceptos y métodos usados por sus predecesores en lo que hoy llamamos diferenciación e integración. Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Desde el siglo XVII, muchos matemáticos han contribuido al cálculo diferencial. En el siglo XIX, el cálculo tomó un estilo más riguroso, debido a matemáticos como Augustin Louis Cauchy (1789–1857), Bernhard Riemann (1826–1866), y Karl Weierstrass (1815–1897). Fue también durante este periodo que el cálculo diferencial fue generalizado al espacio euclídeo y el plano complejo.

Cálculo: 

Rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores máximo y mínimo de funciones y de la determinación de longitudes, áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias como las económicas y las  ingenierías, siempre que haya cantidades que varíen de forma continua.

Evolución histórica:


El cálculo se deriva de la antigua geometría griega. Demócrito calculó el volumen de pirámides y conos, se cree que considerándolos formados por un número infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeño), y Eudoxo y Arquímedes utilizaron el "método de agotamiento" para encontrar el área de un círculo con la exactitud requerida mediante el uso de polígonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón de Elea impidieron formular una teoría sistemática del cálculo. En el siglo XVII, Cavalieri y Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Fermat utilizaron el álgebra para encontrar el área y las tangentes (integración y diferenciación en términos modernos). Fermat y Barrow tenían la certeza de que ambos cálculos estaban relacionados, aunque fueron Newton (hacia 1660) y Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del cálculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teoría de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicación aún provoca disputas sobre quién fue el primero. Sin embargo, terminó por adoptarse la notación de Leibniz.






En el siglo XVIII aumentó considerablemente el número de aplicaciones del cálculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, así como la intuición geométrica, causaban todavía confusión y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus críticos más notables fue el filósofo Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemáticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos sólidos basados en cantidades finitas: Bolzano y Cauchy definieron con precisión los límites y las derivadas, Cauchy y Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Dedekind y Weierstrass con los números reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recíprocos son falsos. En el siglo XX, el análisis no convencional, legitimó el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparición de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del cálculo.

El filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646- 1716), realizó investigaciones similares e ideando símbolos matemáticos que se aplican hasta nuestros días. La concepción de Leibniz se logra al estudiar el problema de las tangentes y su inverso, basándose en el Triángulo Característico de Barrow, observando
que dicho triángulo al que se forma con la tangente, la subtangente y la ordenada del punto de tangencia, así mismo, es igual al triángulo formado por la Normal, la Subnormal y la ordenada del mismo punto. Los símbolos , la palabra “derivada” y el nombre de “ecuaciones diferenciales” se deben a Leibniz. dx dy dx.

La notación d y ∫ de Leibniz destacaban el aspecto de operadores que probaría ser importante más adelante. Para 1675, Leibniz se había quedado con la notación

                                               ∫y dy = y²/2
escrita exactamente como se hace hoy. Sus resultados sobre cálculo integral fueron publicados en 1864 y 1686 con el nombre de calculus summatorius; el término 'cálculo integral' fue sugerido por Jacobo Bernoulli en 1690.
Después de Newton y Leibniz, el desarrollo del cálculo fue continuado por Jacobo Bernoulli y Johann Bernoulli. Sin embargo, cuando Berkeley publicó su Analyst en 1734 atacando la falta de rigor en el cálculo y disputando la lógica sobre la que se basaba, entonces se hicieron grandes esfuerzos para amarrar el razonamiento. Maclaurin intentó poner el cálculo sobre una base geométrica rigurosa pero sus fundamentos realmente satisfactorios tendrían que esperar al trabajo de Cauchy en el siglo XIX.

MINIBIOGRAFIAS DE ALGUNOS MATEMÁTICOS
Zenón de Elea (c. 490 a.C- c. 430 a.C.)
Principal discípulo de Parménides, cuyo pensamiento defendió mediante sus famosas aporías (“paradojas”), con las cuales reducía al absurdo las tesis que pretendía demostrar. Por ello Aristóteles le consideró el creador de la dialéctica.
Diofanto (c. 325- c.410)
Matemático griego de la escuela de Alejandría.
Redactó trece libros de aritmética y uno de números angulares. Desarrollo una teoría innovadora acerca de las ecuaciones de primer grado y propuso formas de resolución de las de segundo grado.

Euclides (c.3000 a. C)
Matemático griego fundador de la escuela de Alejandría. Además de sus aportaciones a otros campos del saber como la óptica, su principal obra fue llamada Elementos, considerada la obra de geometría por excelencia, y que contiene el famoso postulado que lleva su nombre.
Arquímedes (287 a. C.- 212 a. C.)
Sabio griego. Discípulo de Euclides, además de sus importantes de carácter físico (p.ej. las leyes de la palanca) y técnico (tornillo, sin fin, polea móvil, ruedas dentadas, etc.), desarrollo un método para obtener el número pi, perfeccionó el sistema numérico griego y realizo notables contribuciones en el campo de la geometría.

Eratóstenes (c. 284 a. C.- c.192 a.C.)
Astrónomo, filósofo, geógrafo y matemático. Además de ser el primero en medir de forma exacta la circunferencia de la Tierra, creó la criba que lleva su nombre, para la obtención de los números primos, y un instrumento para resolver el problema de la media proporcional (mesolabio).
Fermat, Pierre de (1601-1665)
Matemático francés. Se le reconoce el mérito de haber expresado las primeras idea acerca de cálculo diferencial y algunos autores le reconocen la paternidad del cálculo de probabilidades, compartida con Pascal. Entre sus creaciones destacan el principio, el teorema y el último teorema que llevan su nombre.

Pascal, Blaise (1623-1662)
Matemático, físico, filósofo y escritor francés. Aparte de importantes resultados en el estudio de las cónicas, cicloides y primeros esbozos del cálculo infinitesimal, se le deben contribuciones fundamentales en diversos campos de la física (estudio del vacío, estática de líquidos, etc.), la construcción de varios ingenios mecánicos de cálculo (pascalinas) y la formulación de las bases del cálculo de probabilidades.

Newton,sir Isaac (1642-1727)
Físico, matemático y astrónomo británico.
Sus importantes contribuciones a los campos de las matemáticas y la física incluyen, entre otros, el llamado cálculo de fluxiones (cálculo infinitesimal cuya paternidad le disputa Leibniz) y la sistematización de la mecánica clásica, así como la formulación de las leyes de la gravitación universal.

Goldbach, Christian (1690-1764)
Matemático alemán.sus trabajos se centraron en la teoría de series y sus aplicaciones a la integración de ecuaciones diferenciales. Planteó el problema que lleva su nombre (1742) y que fue resuelto en 1937 por Vinogradov, y propuso la conjetura de Goldbach, aún no resuelta.
Euler, Leonhard (1707-1783)
Matemático suizo.Fue el más famoso de la familia de matemáticos a la que perteneció.
Entre sus obras destacan su Tratado completo de mecánica (aplicación del análisis matemático al movimiento), su teoría del movimiento de los planetas y cometas y, sobre todo, su Introducción al análisis de infinitésimos (1748)y sus Instituciones de cálculo integral (1755), consideradas clásicas.

Clairaut. Alexis (1713-1765)
Matemático y astrónomo francés. Además de participar en la expedición a Laponia para la mediad del meridiano terrestre y calcular el regreso del cometa Halley (1758), hizo contribuciones a la llamada teoría de los tres cuerpos y, en el campo de las matemáticas, al llamado análisis superior.

Lagrange, conde Louis de (1736-1813)
Matemático francés. Además de sus aportaciones el cálculo de variaciones y al cálculo integral, como la introducción de un simbolismo más cómodo para éste, se le debe una obra fundamental titulada Mecánica analítica (1788)
Fundamentó el análisis sobre una noción más general de función, en particular mediante el empleo de desarrollos en serie de Taylor.
Definió las funciones derivadas e introdujo una notación especial para expresarlas.

Gauss, Carl- Friedrich (1777-1855)
Astrónomo, matemático y físico alemán.
Además de sus importantes trabajos en los campos de la astronomía y la física, escribió u tratado sobre la teoría de los números, ideó el método de los mínimos cuadrados, creó la teoría de errores hizo aportaciones notables en el campo de las curvas y desarrolló un método general de resolución de ecuaciones binomias.

Bolzano, Bernhard (1781-1848)
Filósofo, lógico y matemático checo de origen italiano. Además de sus importantes trabajos en el campo de los fundamentos de la lógica, anticipo importantes concepciones relativas a la teoría de conjuntos y creó la primera función continua no diferenciable en ningún punto.

Cauchy, barón Augustin (1789-1857)
Matemático francés. Autor de más de setecientas memorias en diversos campos de la ciencia, introdujo métodos rigurosos en el campo del análisis y creó la llamada teoría de las funciones analíticas.

Abel, Niels Henrik. (1802-1829)
En el campo del análisis matemático está considerado, junto con Jacobi, como el creador de la teoría de funciones elípticas. Formuló, en un trabajo presentado ante la Academia de Ciencias de París, el teorema que lleva su nombre.

Sumatoria
El sumatorio, la sumatoria, o la operación de suma es un operador matemático que permite representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega sigma ( ), y se define como:





Esto se lee: «sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite inferior, m. La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n. Necesariamente debe cumplirse que:


Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:


También hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido. Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, y se puede usar una fórmula como esta:


Se debe notar que aunque el término sumatorio se refiere a un operador matemático útil para expresar cierto tipo de suma, no substituye este término a la palabra suma. Se dice: «la suma de dos y tres es cinco», y no «el sumatorio de dos y tres es cinco». Por la misma razón, decir que se realizará, por ejemplo, el sumatorio (o la sumatoria) de unos votos, es notoriamente un disparate. Los operadores de suma son útiles para expresar sumas de forma analítica; esto es, representar todos y cada uno de los sumandos en forma general mediante el «i-ésimo» sumando. Así, para representar la fórmula para hallar la media aritmética de n números, se tiene la siguiente expresión:

Limite
En muchas ocasiones algunas frases conducen de manera intuitiva a la definición de limite, tales como: “Se aproxima a un número específico”, “x se aproxima hacia a”, “f(x) se hace arbitrariamente grande”. Desde Leibnitz, Newton en el siglo XVII a través de los Bernoulli, Euler y Gauss en el siglo VIII y hasta principios del siglo. Sin embargo, a medida que el tiempo transcurría la definición intuitiva de límite necesitaba de librarse de su origen “los objetos móviles” y simples gráficas. Fue Weierstrass, alrededor de 1841 a 1856 quien desarrollo un método para definir los límites si hacer alusión a lo anterior. Desde entonces este método ha sido usado tanto por matemáticos puros y aplicados Weierstrass.


Definición de límite de f(x) en a informal.
Sea f(x) una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún número c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).



Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es equivalente a decir que existe tanto el limite de la función tanto por la izquierda como por la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la siguiente forma:

Entonces podemos determinar los limites para algunas funciones.
Derivada


Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.



Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:


Definiciones de Derivada:

Definición: Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto
(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Definición: Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto
P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Definición: Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

Definición: Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Definición: Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.


Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

a medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:






Analizando esta línea tangente podemos ver que:



el triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea recta. LEIBNITZ

ISSAC NEWTON

    

Niels Henrik Abel (1802-1829) 

Augustin-Louis Cauchy(1789-1852).

August Crelle